Makalah Pengaplikasian Integral

MAKALAH MATEMATIKA EKONOMI

PENGAPLIKASIAN INTEGRAL

                   Nama Anggota Kelompok (Kelompok 4):

Ø Hikmah Alif Brata Irja                              (90200117025)

Ø Ardiansya                                                  (90200117026)

Ø Muh. Daffa Dimas Kusuma                       (90200117027)

Ø Fadhila Sildano                                          (90200117028)

Ø Muh. Ilham Jaya Kusuma                         (90200117029)

Ø Muh. Adhiyaksa Ahmar                            (90200117030)

Ø Riska R                                                      (90200117031)

Ø Syamsuarni                                                (90200117033)

                                                                    

JURUSAN MANAJEMEN

FAKULTAS EKONOMI DAN BISNIS ISLAM

2018

KATA PENGANTAR

Assalamu’alaikum warahmatullahi wabarakatuh

            Alhamdulillahirabbilalamin, banyak nikmat yang Allah berikan, tetapi sedikit sekali yang kita ingat. Segala puji hanya untuk Allah Tuhan semesta alam atas segala berkat, rahmat, taufik, serta hidayah-Nya yang tiada terkira besarnya, sehingga penulis dapat menyelesaikan makalah dengan judul “Pengaplikasian Integral”.

            Kami sangat berharap makalah ini dapat berguna dalam rangka menambah wawasan serta pengetahuan kita. Kami juga menyadari sepenuhnya bahwa di dalam tugas ini terdapat kekurangan-kekurangan dan jauh dari kata sempurna. Untuk itu, kami berharap ada kritik, saran dan usulan demi perbaikan di masa yang akan datang.

            Semoga makalah sederhana ini dapat dipahami bagi siapapun yang membacanya. Sekiranya makalah yang telah disusun ini dapat berguna bagi kami sendiri maupun bagi yang membacanya.           

                                                                                                            Samata, 6 Juni 2018

                                                                                               

                                                                                                                   Penyusun

i

Daftar Isi

Kata Pengantar                                                                                                                   i

Daftar Isi                                                                                                                              ii

BAB I. PENDAHULUAN

  Latar Belakang                                                                                                                   1

  Rumusan Masalah                                                                                                             1

Tujuan Penulisan                                                                                                               1

BAB II. PEMBAHASAN

  Persamaan Diferensial Pada Bidang Ekonomi                                                               2

     Persamaan Diferensial untuk Pertumbuhan Terbatas dan Tidak Terbatas                 7

  Aplikasi Integral Tertentu Dalam Surplus Konsumen & Produsen                            11

BAB III. PENUTUP

   Kesimpulan                                                                                                                        19

   Saran                                                                                                                                   20

Daftar Pustaka                                                                                                                    21

ii

BAB I

PENDAHULUAN

Latar Belakang

            Telah kita ketahui bahwa perhitungan diferensial adalah kita mencari laju perubahan suatu fungsi, sedangkan dalam hitung integral kita mencari fungsi yang laju perubahannya diketahui. Hal yang menarik adalah banyak masalah ekonomi yang ada di dalam penyelesaian integral

            Oleh karena itu, kami bermaksud memberikan pengetahuan kepada pada mahasiswa agar menambah wawasannya tentang integral yang diterapkan dalam bidang ekonomi. Proses mencari surplus produsen dan surplus konsumen ini dengan mengintegralkan fungsi penerimaan dan penawaran dengan harga atau batas tertentu. 

Rumusan Masalah

1) Bagaimana persamaan diferensial pada bidang ekonomi?

2) Bagaimana persamaan diferensial untuk pertumbuhan terbatas dan tidak terbatas?

3) Bagaimana aplikasi integral tertentu dalam surplus konsumen dan surplus produsen?

Tujuan Penulisan

1) Untuk mengetahui persamaan diferensial pada bidang ekonomi.

2) Untuk mengetahui persamaan diferensial untuk pertumbuhan terbatas dan tidak terbatas.

3) Untuk mengetahui bagaimana aplikasi integral tertentu dalam surplus konsumen dan surplus produsen.

1

BAB II

PEMBAHASAN

PERSAMAAN DIFERENSIAL PADA BIDANG EKONOMI

Pada materi derivatif, fungsi marginal adalah turunan pertama dari fungsi total. Persamaan untuk fungsi marginal dapat dituliskan dalam bentuk persamaan diferensial, sehingga dapat digunakan untuk mencari fungsi total.

Biaya Total (TC : Total cost )

Jika biaya marginal dinyatakan dengan persamaan :

MC = bQ + a

Maka :

  MC       = d(TC)/dQ = (bQ + a)

  d(TC)    = (bQ + a ) dQ, sehingga total biaya dapat dinyatakan dengan :

 ∫d(TC)   = ∫(bQ + a) dQ

                TC     = 0.5bQ²  + aQ + c

      Elemen-elemen biaya total adalah variabelcost (VC) dan total fisedcost (TFC),      sehingga : TC = TVC + FC.

- Persamaan (9.5) menunjukkan :

      TVC  = 0.5bQ  + aQ

      TFC  = c

-sehingga persamaan (10,5) dapat ditulis menjadi :

∫d(TC)    = ∫(bQ + a) dQ

        TC   = 0.5bQ²  + aQ + c

        TC   = TVC + TFC.

2

Marginal cost untuk suatu produk dinyatakan dengan persamaan berikut : MC = 6Q – 21

      Tentukanlah bentuk umum fungsi TC.

      Jika Q = 10, maka TC = 150

      Jika Q = 20, maka TC = 840

Penyelesaian :

a.      Biaya marginal

C = 6Q – 21

b.      Biaya Total (TC)

TC =  MC dQ =  (6qQ – 21)dQ

                      = 3Q  - 21Q + c

c.      Untuk Q    = 10, TC = 150

TC = 3Q  - 21Q + C

150  = 3(10)  - 21(10) + c

150  = 300 –210 + c

150  = 90 + c

C      = 150 – 90

       = 60

Untuk Q = 20, TC = 840

TC    = 3Q  - 21Q + c

840  = 3(20)  - 21(20) + c

840  = 1200 – 420 + c

840  = 780 + c

  C    = 840 – 780

         = 60

3

d.      Bentuk Umum Fungsi Biaya Total (TC)

C   = TFC = 60

TC = TVC + TFC

      = 3Q² - 21Q + 60

Total permintaan ( TR: Total Revenue)

Fungsi permintaan : P =n  f(Q) = a – bQ, b ≠ 0

Maka :

   TR   =  f(Q)              = (a – bQ)Q = aQ - bQ²

   MR = d(TR) / dQ    = a – 2bQ

              ∫d(TR)           = ∫(a – 2bQ) dQ

                    TR            = aQ - bQ² + c

                      C            = 0

                    TR            = aQ - bQ²

   Marginal Revenue untuk suatu produk dinyatakan dengan pernyataan berikut MR = 41 – 4Q.

Tentukanlah :

a.      Fungsi TR = f(Q)

Jika Q = 10, maka TR = 200

b.      Fungsi permintaan : P = f(Q)

Penyelesaian :

a.      MR = 41 – 4Q

Total Revenue (TR)

TR   = ∫MR  dQ = ∫(41 – 4Q)dQ

                          = 41Q – 2Q² + c

b.      Jika Q   = 10, TR = 200

      TC   = 41Q- 2Q² + c

      200 = 41(0) – 2(0)² + c

      200 = 410 – 200 + c

      200 = 210 + c

         C  = -10

4

c.      Fungsi penerimaan total

TR = 41Q – 2Q² - 10

Fungsi permintaan

TR = PQ

41Q – 2Q² - 10 = PQ

41 – 2Q – 10/Q = P

P = 41 – 2Q 10/Q

Total keuntungan/kerugian (Tpl : Total profit/loss)

Total profit (loss) = TR – TC

d(Tpl)/dQ = d(TR)/dQ – d(TC)/dq

Mpl = MR – MC

            ∫d(Tpl) = ∫(MR – MC) dQ

                  Tpl            = TR – TC

Diberikan fungsi marginal revenue dan cost seperti berikut :

   MR = 20 – 4Q dan MC = 2Q – 10.

   Untuk Q = 5, MR = 50 dan MC = 2

Tentukanlah total keuntungan /kerugian maksimum, jika ada.

Penyelesaian :

a.      MR = 20 – 4Q

Total Revenue (TR)

TR = ∫MR dQ = ∫(20 - 4Q)dQ

                       = 20Q – 2Q² + c

b.      MC = 2Q – 10

Total cost

TC = ∫MC dQ = ∫(2Q – 10)dQ

                         = Q² - 10Q + c

5

c.      Untuk Q = 5

TR = 50

TR = 20Q – 2Q² + c

50 = 20(5) – 2(5)² + c

50 = 100 – 50 + c

c   = 0

TR = 20Q – 2Q²

MC = 2

MC = Q² - 10Q + c

 2    = (5)² - 10(5) + c

 2    = 25 – 50 + c

27   = c

 c     = 27

TC = Q² - 10Q + 27

d. Total keuntungan/kerugian

Tpl = TR – TC

Tpl = (20q – 2Q²) – (Q² - 10Q + 27)

      = -3Q² + 30Q – 27

Agar total keuntungan/kerugian                Keuntungan /kerugian maksimum

Maksimum, Mpl = 0                                    Tpl = -3(5)² + 30(5) – 27 

Mpl = -6Q + 30                                                   = -27 + 150 – 27 = 4

0 = -6Q + 30

            Q = 5

6

Persamaan Diferensial untuk Pertumbuhan Terbatas dan Tidak Terbatas

1. Pertumbuhan Tidak Terbatas

            Persamaan diferensial dy/dx = ry menggunakan sistem pertumbuhan secara proporsional, dimana r konstan penyelesaian untuk tipe persamaan diferensial di atas adalah y = Aeⁿ, di mana A bilangan konstan yang menggambarkan pertumbuhan (penurunan jika A negatif).

 

                          y                            y =Ae^{r t}

 

                            

                          A

                                                       t

                                                                                    

Pertumbuhan tidak terbatas

            Persamaan diferensial: dy/dx = ry                                      ...(8.10)

            Penyelesaian:            y = Ae^rt

                A, r: bilangan kosntan

Contoh 8.11

            Diberikan persamaan diferensiaal

            dy/dt – 0.75y = 0.

            y = f(x) = 10, jika t = 2

            Tentukanlah: fungsi y = f(t).

Penyelesaian:

a. dy/dt – 0.75y = 0                                                                 y = e^{0.75t + c}

            dy/dt = 0.73y                                                                y = e^0.75te^c

            dy/y = 0.75 dt                                                               y = A e^0.75t    (A = e^c)

ʃ dy/y = ʃ 0.75 dt

ӏn (y) = 0.75t + c

ӏn y = ӏn e^{0.75 t + c}

7

1000

·         c

 900

 800                                                                                                         

 700

 600

·         c

 500

 400

 300

·         c

·         c

 200

·         c

·         ////////////////

·         c

 100

 

0                 2          4          6          8          10       

                                           t

       Gambar 8.13 pertumbuhan Tidak Terbatas

b.  y = f(t) = 10 jika t = 2

     y = A e^{0.75 t}

10 = A e^{0.75 (2)} = A e^1.5

10 = 4.4817 A

A = 10/4.4817 = 2.2313

c. persamaan y = f(t) untuk t = 2

y = 2.2313 e^0.75t

2. Pertumbuhan Terbatas

            Persamaan diferensial dengan bentuk dy/dx = r(A-y) menggambarkan sistem pertumbuhan sangat cepat pada awal periode dan akan melambat pada akhir periode sampai suatu batas (limit) maksimum yaitu y = A.

                                  y

. . . . . . A͟  ǀ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Y = A (1 – e-r t) ǀ

 

                                                                                        

                                                                                         t

 

Gambar 8.14 Fungsi Pertumbuhan Terbatas y = A(1 - ^-rt)

8

Pertumbuhan Terbatas

            Persamaan diferensial: dy/dx = r(A – y)

            Penyelesaian:                        y = A(1 – e ^–rt)                                   .....(8.11)

            A, r, t: bilangan kosntan

Contoh soal:

            Tingkat pertumbuhan volume penjualan komoditas baru setelah pertama kali diiklankan dinyatakan dengan:

            Dq/dt = 0.05 (100 – Q)

            Q = f(t) = 0, jika t = f(t).

Penyelesaian:

a.  dQ/dt                     = 0.05 (100 – Q)

dQ/(100 – Q)             = 0.05 dt

ʃ dQ/(100 – Q)          = ʃ 0.05 dt

-ӏn (100 – Q)             = 0.05 t + c

ӏn (100 – Q)               = ꟷ0.05 t - c

ӏn (100 – Q)               = ӏn e^{ꟷ0.05 t - c}

100 – Q                      = e^{ꟷ0.05 t – c}

100 - Q                       = e^{ꟷ0.05 t}e^ꟷc

Q                                 = 100 – Ae ^{ꟷ0.05 t ;} (A = e ^ꟷc)

b.  Q = f(t) = 0 jika t = 0

            Q = 100 - Ae^{ꟷ0.05 t}

            0  = 100 - Ae^{ꟷ0.05 (0)}

                0  = 100 – Ae⁰

            A = 100

            Persamaan Q = f(t) untuk t = 0

            y = 100 – 100e ^{ꟷ0.05 t} = 100 (1 – e^{ꟷ0.05 t)}

- - - - - -

120 100 80 60 40 20 00--0

 

y = 100 (1- e ꟷ0.05t)

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

                               A = 100

                                                                          

 

Populasi

                       0                                   

9

3. Tingkat Pertumbuhan Proporsional Konstan

     Pertumbuhan populasi, investasi dan lain-lain, umumnya dinyatakan dengan model fungsi eksponensial, seperti berikut:

                                                P_t = P₀ e ^rt

Di mana:

     P₀, P_t : ukuran populasi saat t = 0 dan t = t₁

     r       : tingkat pertumbuhan proporsional konstan

     Tingkat pertumbuhan proporsional konstan, diidefinisikan sebagai berikut:

r

=

=

     Tingkat perubahan P saat t            dP_t / dt

             Ukuran P saat t                         P_t

Contoh soal:

     Diberikan fungsi-fungsi berikut : P_t = 1250 _e ^0.04t

Tentukanlah :

a.    Bentuk umum tingkat pertumbuhan proporsional konstan

b.   Tingkat pertumbuhan proporsional konstan saat t = 5,10.

Penyelesaian :

a.      Bentuk umum

P_t = 1250_e ^0.04t

dP_t / dt = 1250 (0.04) ^0.04t

(dP_t / dt) / P_t = 0.04 (1250_e ^0.04t) / (1250_e ^0.04t)

r = (dP_t / dt) / P_t = 0.04

b.      Tingkat pertumbuhan proporsional untuk t = 5,10

t = 5                                               r = 0.04

t = 10                                             r = 0.04

Pertumbuhan konstan, tidak dipengaruhi oleh waktu.

10

Aplikasi Integral Tertentu Dalam Surplus Konsumen & Produsen

SURPLUS KONSUMEN

                Surplus Konsumen (Consumers Surplus) mencerminkan suatu keuntungan lebih atau surplus yang dinikmati oleh konsumen tertentu berkenaan dengan tingkat harga pasar suatu barang. Fungsi permintaan P = f(Q) menunjukkan jumlah sesuatu barang yang akan dibeli oleh konsumen pada tingkat harga tertentu. Jika tingkat harga pasar adalah P_e ,maka bagi konsumen tertentu yang sebetulnya mampu dan bersedia membayar dengan harga lebih tinggi dari P_e hal ini akan merupakan keuntungan baginya, sebab ia cukup membayar barang tadi dengan harga P_e. Keuntungan macam inilah yang disebut oleh  Alfred Marshall disebut surplus konsumen. Secara geometri, besarnya surplus konsumen ditunjukkan oleh luas area di bawah kurva permintaan tetapi di atas tingkat harga pasar.

                                                                                                         

Surplus konsumen atau C_s (Consumers’ surplus) tak lain adalah segitiga P_e DE, dengan rentang wilayah yang dibatasi oleh Q = 0 sebagai batas bawah dan  Q = Q_e sebagai batas atas.

Besarnya surplus konsumen adalah :

C_s = Q_e P_e

Dalam hal fungsi permintaan berbentuk P = f(Q)

atau

C_s =

11

Dalam hal fungsi permintaan berbentuk Q = f(P);P adalah nilai P untuk Q = 0 atau penggal kurva permintaan pada sumbu harga.

Dengan demikian:

C_s = Q_eP_e=

            Fungsi permintaan akan suatu barang ditunjukkan oleh persamaan Q = 48 – 0,03 P^2. Hitunglah surplus konsumen jika tingkat harga pasar adalah 30.

Contoh Soal :

Q = 48 – 0,03 P²

Jika P = 0,              Q = 48

Jika Q = 0, P ≡

Jika P ≡ P_e =30,     Q ≡ Q_e= 21

                                                             

C_s     = P²) dP

       = P³]

          48 (40) – 0,01 (40)³ } – {48 (30) – 0,01 (30)³ }

      

      

12

SURPLUS PRODUSEN

            Surplus produsen (Producers’ surplus ) mencerminkan suatu keuntungan lebih atau surplus yang dinikmati oleh produsen tertentu berkenaan dengan tingkat harga pasar dari barang  yang ditawarkannya.

            Fungsi penawaran P = f (Q) menunjukkan jumlah sesuatu barang  yang akan dijual oleh produsen pada tingkat harga tertentu. Jika tingkat harga pasar adalah P_e, maka bagi produsen tertentu yang sebetulnya bersedia menjual dengan harga yang lebih rendah dari P_e, hal ini akan merupakan keuntungan baginya, sebab ia kini dapat menjual barangnya dengan harga P_e (lebih tinggi dari harga jual semula yang direncanakan). Keuntungan lebih semacam ini disebut surplus produsen. Secara geometri, besarnya surplus produsen ditunjukkan oleh luas area di atas kurva penawaran tetapi di bawah tingkat harga pasar.

Surplus produsen atau P_s  (Producers’ surplus ) tak lain adalah segitiga P_e DE, dengan rentang wilayah yang dibatasi oleh Q = 0 sebagai batas bawah dan  Q = Q_e sebagai batas atas.

13

Besarnya surplus produsen adalah :

P_{s =}Q_eP_e-

Dalam hal ini fungsi penawaran berbentuk P= f(Q) atau

P_{s =}

Dalam fungsi penawaran berbentuk Q = f (P)dP ; adalah nilai P untukQ = 0, atau penggal kurva penawaran pada sumbu harga.

Dengan demikian :

P_{s =} Q_eP_e -  =

Contoh Soal :

Seorang produsen mempunyai fungsi penawaran P = 0,50 Q + 3. Berapa surplus produsen itu bila tingkat harga keseimbangan di pasar adalah 10?

Lakukan perhitungan dengan 2 cara!

            P = 0,50Q  + 3                     Q  = -6 + 2P

            P = 0                                      Q  = -6

            Q =0                                       P  = 3 ≡

            P_e = 10                                               Q_e= 14

14

Cara Pertama :

    P_e     = Q_eP_e  –

            = 140 – [0,25Q²+ 3Q ]

            = 140 – {0,25 (14)² + 3(14) } – {0,25(0)²  + 3 (0) }

            = 140 – 91 – 0

            = 49

Cara Kedua :

P_s =

    =

    = [-6P  +P²]

    = { -6 (10) +10² } – { -6 (3) +3²}

    = 40 – (-9)

    = 49

15

Surplus Konsumen dan Produsen

Fungsi permintaan  = a₁ + b₁Q – c₁Q²

Fungsi penawaran  = a₂ + b₂Q – c₂Q²

Keseimbangan pasar :

 =

a₁ + b₁Q – c₁Q² = a₂ + b₂Q – c₂Q²

    (a₁ – a₂) + (b₁ – b₂)Q + (c₂ – c₁)Q² = 0

E ( , )

Contoh soal:

Pasar akan membeli sebanyak 5p unit per bulan jika harga $200 dan akan membeli sebanyak 30 unit jika harga komoditi $300. Perusahaan akan menjual komoditi sebanyak 20 unit jika harga $210 per unit dan akan menjual sebanyak 30 unit jika harga $230 per unit .  Tentukanlah surplus konsumen dan produsen

Penyelesaian:

a. Konsumen, fungsi konsumen akan melalui titik berikut

A (50,200), B (30,300)

(P  - P₁)/ (P₂ – P₁)                =  (Q- Q₁)/ (Q₂ – Q₁)

(P – 200)/(300 – 200 )         = (Q -50)/(30 – 50)

(P – 200)/100                       = (Q – 50)/-20

(P – 200) /-5                         = Q – 50

P – 200                                 = -5Q + 250

P                                           = -5Q + 450

b. Produsen, fungsi penawaran akan melalui titik berikut

C (20,210), D (30,230)

(P  - P₁)/ (P₂ – P₁)               =  (Q- Q₁)/ (Q₂ – Q₁)

(P – 210)/(230 – 210)          = (Q – 20)/ (30 – 20)

(P – 210)/20                         = (Q – 20)/10

(P – 210)/2                           = Q – 20

P – 210                                 = 2Q – 40

P                                           = 2Q + 170

16

c. Keseimbangan pasar

  =

-5Q + 450                  = 2Q + 170

-7Q                            = -280

Q                                = 40

P                                = 2Q + 170

P                                = 2 (40)  + 170

P                                = 250

Keseimbangan pasar E ( , )

Adalah : E (40, 250)

d. Surplus konsumen

  =

      = 

      =  (90P – 0.1P²)

      = (90 (450) – 0.1(450) ²) – (90 (250) – 0.1(250) ²)

      = (40.500 – 20.250) – (22.500 – 6.250)

      = 20.250 – 16.250

      = 4.000

17

e. Surplus produsen

 =

     =

     = (0.25P – 85P)

     = (0.25 (250)² – 85 (250)) – (0.25 (170)” – 85(170))

     =(15.625 – 21.250) – (7.225 – 14.450

      = -5.625 + 7.225

     = 1.600

18

BAB III

PENUTUP

1. Kesimpulan

Persamaan Diferensial Pada Bidang Ekonomi

Biaya Total (TC : Total cost )

Jika biaya marginal dinyatakan dengan persamaan :

MC = bQ + a,

Maka :

  MC       = d(TC)/dQ = (bQ + a)

  d(TC)    = (bQ + a ) dQ, sehingga total biaya dapat dinyatakan dengan :

 ∫d(TC)   = ∫(bQ + a) dQ

                TC     = 0.5bQ²  + aQ + c

Pertumbuhan Tidak Terbatas

            Persamaan diferensial dy/dx = ry menggunakan sistem pertumbuhan secara proporsional, dimana r konstan penyelesaian untuk tipe persamaan diferensial di atas adalah y = Aeⁿ, di mana A bilangan konstan yang menggambarkan pertumbuhan (penurunan jika A negatif).

Pertumbuhan Terbatas

            Persamaan diferensial dengan bentuk dy/dx = r(A-y) menggambarkan sistem pertumbuhan sangat cepat pada awal periode dan akan melambat pada akhir periode sampai suatu batas (limit) maksimum yaitu y = A.

           

Integral tertentu adalah integral yang mempunyai batas bawah dan batas atas. Besarnya surplus konsumen dapat dinyatakan dalam rumus berikut:

            ^{Q0                                                                      P1}

CS =      ∫   f(Q) dQ-Q₀P₀  atau  CS = ∫  f(P) Dp

            _{Q=0                                                                   P0}

19

Sedangkan surplus produsen dapat dinyatakan dalam rumus berikut:

                                ^{Q0                                                   P0}

PS = Q₀P₀  -  ∫   f(Q) dQ atau PS = ∫  f(P) dP

                        _{Q=0                                                 P1}

2. Saran

            Dengan dibuatnya makalah ini, penyusun menyarankan kepada pembaca untuk lebih banyak mencari tahu kegunaan integral dalam kehidupan sehari-hari, karena masih banyak lagi kegunaan integral yang tidak hanya dijelaskan dalam makalah ini. Dan jika perlu, gunakanlah integral ini untuk menyelesaikan masalah tertentu dalam kehidupan, seperti masalah pada bidang ekonomi yang telah dijelaskan dalam makalah ini.

           

           

           

         

20

Daftar Pustaka

Mairy Du,1983, MatematikaTerapanuntukBisnis dan Ekonomi, Yogyakarta, BPFE Yogyakarta.

21